陰関数定理 - Hello p-adic World

最適化を考える時に陰関数定理とラグランジュの未定乗数法を考える事が多いので，これらについて紹介したいと思います.

今回は二変数の場合の陰関数定理について紹介します.

定理
${F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}}$ が ${F(x_0,y_0)=0}$ を満たし, ${(x_0,y_0)}$ の近傍 ${U}$ で微分可能で ${x,y}$ ともに偏微分が連続で, ${\frac{\partial F(x_0,y_0)}{\partial y} \neq 0}$ とする.この時,ある ${x_0}$ の開近傍 ${V}$ 上定義され， ${f(x_0) = y_0}$ となる関数 ${f:V \to \mathbb{R}}$ で,任意の ${a \in V}$ 上, ${F(a,f(a)) = 0}$ を満たすものが存在する.

定理

${F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}}$ が ${F(x_0,y_0)=0}$ を満たし, ${(x_0,y_0)}$ の近傍 ${U}$ で微分可能で ${x,y}$ ともに偏微分が連続で, ${\frac{\partial F(x_0,y_0)}{\partial y} \neq 0}$ とする.この時,ある ${x_0}$ の開近傍 ${V}$ 上定義され， ${f(x_0) = y_0}$ となる関数 ${f:V \to \mathbb{R}}$ で,任意の ${a \in V}$ 上, ${F(a,f(a)) = 0}$ を満たすものが存在する.

これを証明します.存在を示すので,具体的に構成できればよいわけです.

まず偏微分が連続であることと, ${ (x_0,y_0)}$ の近傍で微分可能であることから, ${ (x_0,y_0)}$ を含む ${ \mathbb{R}^2}$ の開近傍 ${ U'}$ 上で, ${ (x',y') \in U'}$ に対し, ${ \frac{\partial F(x',y')}{\partial y}}$ は符号が全て同じとなるものが存在します. 符号はひとまず正とします.(負の場合は ${ -F}$ をとればよいです)

これにより, ${ y \lt y_0}$ 上, ${ F(x_0,y) \lt 0 }$ となり,逆に ${ y>y_0}$ 上 ${ F(x_0,y) > 0}$ となります. ${ F}$ の連続性から，十分小さい開近傍を取ると, ${ y > y_0}$ で, ${ 0 \lt F(x_0,y)}$ と ${ F(x,y)}$ は符号が変わらず， ${ y \lt y_0}$ でも同様となります.そのため, ${ x}$ を固定すると ${ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}}$ は単調増加で符号が変わることから,任意の ${ x}$ に対し,ただ1つの ${ F(x,y)=0}$ となる ${ y}$ が存在することがわかります.